２０１４年２月７日（金） ジャンケンの実際―５人のジャンケン
本稿は、先日からのジャンケンシリーズ、
指文字の文化―その５ （２０１４／１／２５）
ジャンケンの実際 ３人のジャンケン （２０１４／１／３０）
ジャンケンの実際 ４人のジャンケン （２０１４／１／３１）
に続くもので、５人のジャンケンについて述べたものである。
５人のジャンケンでの、「勝負がつく場合からのアプローチ」に関しては、ほぼ、見えているので、本稿では、これまでの延長で、「アイコになる場合からのアプローチ」で、しかも、三すくみアイコを想定する方法に関する考察である。
５人でやる場合、３人で、三すくみアイコ＃の状態を想定する。３人で＃ができれば、残り２人は、任意となる。＃は、５人の中のいずれで出来てもよいと思われるが、分りやすい、最初の３人で＃をつくり、後の４、５人目は、任意とする場合を想定する。
＊アイコは、一旦出来ても、その後、勝負がつく組み合わせに変化するが、＃アイコは、一旦出来た＃の状態は変わらない。
◎この所、ジャンケンシリーズで取り上げている、２人から４人までの、検討の結果を、整理する。
２人の場合
・総組合せ数 ３２＝９
・アイコ数 ＊アイコ ３（ＧＧ ＣＣ ＰＰ）
→アイコとなる確率 ３／９＝１／３
→勝負が決まる確率 １−１／３＝２／３
★２人の時は勝負がついたが、３人の時には＃となりうる予備軍組合わせは、上記で、＊を除いた、以下 の６通りである。
ＧＣ ＧＰ ＣＧ ＣＰ ＰＧ ＰＣ
３人の場合
・総組合せ数 ３３＝２７
・アイコ数
＊アイコ ３（ＧＧＧ ＣＣＣ ＰＰＰ）
＃アイコ ２人の時の＃予備軍組合わせ、６通りは、３人目で、初めて、以下の、三すくみアイコ＃となる。 ＧＣＰ ＧＰＣ ＣＧＰ ＣＰＧ ＰＧＣ ＰＣＧ
・アイコとなる確率 （３＋６）／２７＝９／２７＝１／３
→勝負が決まる確率 １−１／３＝２／３
★３人の時は、勝負がついたが、４人の時には＃となる、予備軍組合わせは、前稿にあるように、１８通りになる。念のため、再度、以下に示す。
Ｇに着目して、２人の場合と、１人の場合に分け、左欄にリストアップ。リストアップ検証で、Ｃ，Ｐの場合に拡大したものを右欄に。 ４人目で、初めて＃となる手の状況を右端に（太字は＃になるケース）。
Ｇ２人の場合 ３Ｃ２×手３＝９
リストアップで検証 → ４人目の例
ＧＧＣ ＣＣＰ ＰＰＧ ＧＧＣＧ ＧＧＣＣ ＧＧＣＰ
ＧＣＧ ＣＰＣ ＰＧＰ
ＣＧＧ ＰＣＣ ＧＰＰ
Ｇ１人の場合 ３Ｃ１×手３＝９
リストアップで検証 → ４人目の例
ＧＣＣ ＣＰＰ ＰＧＧ ＧＣＣＧ ＧＣＣＣ ＧＣＣＰ
ＣＧＣ ＰＣＰ ＧＰＧ
ＣＣＧ ＰＰＣ ＧＧＰ
この結果、４人の場合に追加される＃の数と確率は
（３Ｃ２＋３Ｃ１）×３／３４＝（３Ｃ２＋３Ｃ１）／ ３３
４人の場合
・総組合せ数 ３４＝８１
・個々のアイコとなる確率
４人の場合での、＊アイコの確率の計算
＊アイコ数は ３ →確率 ＊Ｐ４＝３／３４ ＝１／３３
４人の場合での、＃アイコの数と確率の計算
３人の場合から持ち越した＃の確率
＃Ｐ３＝２Ｃ１×３／３３＝２Ｃ１／３２＝２／９
４人の場合で追加された＃の確率
＃ＰＡ４＝（３Ｃ２＋３Ｃ１）×３／３４＝（３Ｃ２＋３Ｃ１）／３３
＝６／２７＝２／９
４人の場合の、＃全体の確率
＃Ｐ４＝＃Ｐ３＋＃ＰＡ４
＝２Ｃ１／３２ ＋（３Ｃ２＋３Ｃ１）／３３
＝２／９＋２／９＝４／９
・アイコ全体の確率
Ｐ４＝＊Ｐ４＋＃Ｐ４＝１／３３＋４／９＝１／２７＋１２／２７＝１３／２７
従って、勝負がつく確率は、
１−１３／２７＝１４／２７
となる。
★４人のジャンケンでは勝負がついたが、５人の時には＃となる、＃アイコの一歩手前の予備軍組合わせについて調べる。
同じ手の組み合わせに着目してリストアップすると、全部で、以下の４２通りがある。
同じ手が３名 ４Ｃ３×１Ｃ１＝４ 手の数 ３
Ｇ３・Ｃ１ Ｃ３・Ｐ１ Ｐ３・Ｇ１ １２通り
ＧＧＧＣ ＣＣＣＰ ＰＰＰＧ
ＧＧＣＧ ＣＣＰＣ ＰＰＧＰ
ＧＣＧＧ ＣＰＣＣ ＰＧＰＰ
ＣＧＧＧ ＰＣＣＣ ＧＰＰＰ
同じ手が２名 ４Ｃ２×２Ｃ１＝６ 手の数 ３
Ｇ２・Ｃ２・Ｐ２ Ｃ２・Ｐ２・Ｇ２ Ｐ２・Ｇ２・Ｃ２ １８通り
ＧＧＣＣ ＣＣＰＰ ＰＰＧＧ
ＧＧＰＰ ＣＣＧＧ ＰＰＣＣ
ＧＣＧＣ ＣＰＣＰ ＰＧＰＧ
ＧＣＣＧ ＣＰＰＣ ＰＧＧＰ
ＧＰＧＰ ＣＧＣＧ ＰＣＰＣ
ＧＰＰＧ ＣＧＧＣ ＰＣＣＰ
手が１名 他の同じ手が３名 ４Ｃ１×１Ｃ１＝４ 手の数 ３
Ｇ１・Ｃ３ Ｃ１・Ｐ３ Ｐ１・Ｇ３ １２通り
ＧＣＣＣ ＣＰＰＰ ＰＧＧＧ
ＣＧＣＣ ＰＣＰＰ ＧＰＧＧ
ＣＣＧＣ ＰＰＣＰ ＧＧＰＧ
ＣＣＣＧ ＰＰＰＣ ＧＧＧＰ
この、４人の場合のアイコ予備群（４２通り）が、５人目で、新たな＃アイコとなる。
◎上記の延長で、５人の場合について以下に整理した。
５人の場合
・総組合せ数 ３５＝２４３
・アイコとなる確率の計算
５人での＊アイコの確率の計算
＊アイコ数は ３ →確率 ＊Ｐ５＝３／３５ ＝１／３４
５人での＃アイコの確率の計算
＃アイコの数
３人の場合から持ち越した＃の確率
＃Ｐ３＝２Ｃ１×３／３３＝２Ｃ１／３２＝２／９
４人の場合で追加され持ち越した＃の確率
＃ＰＡ４＝（３Ｃ２＋３Ｃ１）×３／３４＝（３Ｃ２＋３Ｃ１）／３３
＝６／２７＝２／９
５人の場合で追加された＃の確率
＃ＰＡ５＝（４Ｃ３＋４Ｃ２＋４Ｃ１）×３／３５
＝（４Ｃ３＋４Ｃ２＋４Ｃ１）／３４＝１４／８１
５人の場合の全体の＃の数と確率
＃Ｐ５は、３人以降の＃の確率いの総和となるので、
＃Ｐ５＝＃Ｐ３＋＃ＰＡ４＋＃ＰＡ５
＝２Ｃ１／３２ ＋（３Ｃ２＋３Ｃ１）／３３＋（４Ｃ３＋４Ｃ２＋４Ｃ１）／３４
＝２／９＋２／９＋１４／８１
＝（１８＋１８＋１４）／８１
＝５０／８１
・アイコ全体の数と確率
Ｐ５＝＊Ｐ５＋＃Ｐ５＝１／３４＋５０／８１＝５１／８１＝１７／２７
従って、勝負がつく確率は、
１−１７／２７＝１０／２７
となる。
★５人のジャンケンでは勝負がついたが、６人の時には＃となる、＃アイコの一歩手前の予備軍組合わせと確率は、これまでの検討から、以下と想定される。
＃ＰＡ５ ＝（５Ｃ４＋５Ｃ３＋５Ｃ２＋５Ｃ１）×３／３５
＝（５Ｃ４＋５Ｃ３＋５Ｃ２＋５Ｃ１）／３４
＝（５＋１０＋１０＋５）／２４３＝３０／２４３＝１０／８１