２０１４年２月８日（土） ｎ人のジャンケン
当ブログでは、昨年の指文字の話題のシリーズから発展し、ジャンケンの確率の話題へ進んで、深みに嵌ってしまったのだが、乗りかかった船である確率の検討も、漸く、人数をｎ人に一般化する大詰の段階になっている。
ジャンケンする人数をｎ人に拡大し、ｎ人同時に１回ジャンケンした場合に、勝負がつく確率は、ネット情報では、
（２ｎ−２）／３ｎ−１
となるとあり、アイコになるのは、その余事象で
１−（２ｎ−２）／３ｎ−１
となるという。（じゃんけん - Wikipedia）（じゃんけんを考える）
ここでの、勝負がつく確率と言うのは、ｎ人同時にジャンケンした場合に、ｎ人の中で、１人、２人、又は、（ｎ−１）人の、いずれかが勝つ確率、別の言い方では、アイコにならない確率のことである。
ネットで、この公式を初めて見た時は、筆者には、とても手に追えないものに思えた。でも、人数を、２人の場合から始まって、１人づつ増やしていく過程で、次第に、規則性が見えてきたことで、ｎ人による勝負での確率を求めるこの一般式を、どの様にして導き出すのか、次第に、興味が湧いて来たのである。
ただ、ネット情報では、「勝負がつく確率を求めるプローチ」を行って、その余事象として、アイコとなる確率を求めている。でも、自分としては、遠廻りでも、敢えて、「アイコとなる確率を求めるアプローチ」を行って、トライすることとした。
その途中では、何度か行き詰り、先に進めなくなったが、その都度、ネットの公式の助けを借りて検証しながら、進めてきたところだ。
当ブログの、以下の諸記事は、「アイコとなる確率を求めるアプローチ」で、ジャンケンの人数を、増やしていった場合について、具体的に検討したものである。
ジャンケンの実際―３人、４人、５人のジャンケン （２０１４／１／３０、１／３１、２／７）
本稿は、これらの集大成になるだろうか。
○前稿にあるように、ｎ人の場合の、アイコとなる確率Ｐｎは、
Ｐｎ＝＊Ｐｎ＋＃Ｐｎ
（＊Ｐｎ：同じ手アイコ＊の確率、＃Ｐｎ：三すくみアイコ＃の確率）
で、
＊Ｐｎ＝３×３／３ｎ＝１／３ｎ−１
は、ほぼ自明である。
一方、＃Ｐｎは、人数が増える毎に追加される確率の総和で、以下となる。
＃Ｐｎ＝＃Ｐ３＋＃ＰＡ４＋＃ＰＡ５＋――――＋＃ＰＡｎ−１＋＃ＰＡｎ
＝２Ｃ１／３２＋（３Ｃ１＋３Ｃ２）／３３＋（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４Ｃ３）／３４＋―――＋｛ｎＣ１＋ｎＣ２＋ ―――＋ｎＣ（ｎ−１）｝／３ｎ−１――――?
最後の項にあるように、一般化したｎ人の場合に、（ｎ−１）人から追加される、＃アイコの追加組み合わせ数とその確率は
＃ＰＡｎ＝｛ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３＋――――＋ｎＣ（ｎ−１）｝×３／３ｎ
＝｛ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３＋――――＋ｎＣ（ｎ−１）｝／３ｎ−１――?
となる。
○ここで、今回初めて知ったが、二項定理から導かれた、「パスカルの三角形」という、以下の綺麗な公式があるようだ。（パスカルの三角形）
ｎＣ０＋ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３＋――――＋ｎＣ（ｎ−１）＋ｎＣｎ＝２ｎ――?
左辺の、ｎＣ０、ｎＣｎは、ともに、＝１なので、これを右辺に移動すると、?は、
ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３＋――――＋ｎＣ（ｎ−１）＝２ｎ−２―――?ｂ
となる。
この?ｂを使えば、?は、
＃ＰＡｎ＝｛ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３＋――――＋ｎＣ（ｎ−１）｝／３ｎ−１
＝（２ｎ−２）／３ｎ−１ ―――――?ｂ
となる。
従って、?にある、ｎ人の場合の＃の確率＃Ｐｎの各項に、?ｂを適用すると、以下の?となる。
＃Ｐｎ＝（２２−２）／３２＋（２３−２）／３３＋（２４−２）／３４＋――――
＋（２ｎ−１−２）／３ｎ−１――――?
この?の各項を、２つに分けて整理すると
＝（２／３）２｛１＋２／３＋（２／３）２＋（２／３）３＋―――＋（２／３）ｎ−３ ｝
−２／３２｛１＋１／３＋（１／３）２＋（１／３）３＋―――＋（１／３）ｎ−３ ｝
となり、それぞれ、等比が、２／３、１／３の、等比級数の和ができるので、これを計算すると、
＝（２／３）２ ｛１−（２／３）ｎ−２｝／｛１−２／３｝
−２／３２｛１−（１／３）ｎ−２｝／｛１−１／３｝
＝（２／３）２ ×３×｛１−（２／３）ｎ−２｝
−２／３２×３／２×｛１−（１／３）ｎ−２｝
＝２２／３×｛１−（２／３）ｎ−２｝
−１／３｛１−（１／３）ｎ−２｝
＝２２／３−２ｎ／３ｎ−１
−１／３＋１／３ｎ−１
＝１−（２ｎ−１）／３ｎ−１
∴ ＃Ｐｎ＝１−（２ｎ−１）／３ｎ−１―――――?
○以上より、ｎ人の場合のアイコ全体の確率Ｐｎ は
Ｐｎ＝＊Ｐｎ＋＃Ｐｎ
＝１／３ｎ−１＋（１−（２ｎ−１）／３ｎ−１）
＝１−（２ｎ−２）／３ｎ−１―――――?
となる。
この?式は、ネットにある、アイコの公式と一致する。
勿論、この余事象、
１−Ｐｎ＝（２ｎ−２）／３ｎ−１
は、ｎ人の場合に、勝負がつく確率である。
ジャンケンの確率に関しては、今回で、自分なりに納得できたところで一区切りとし、次稿で、関連する話題で締めくくることとしたい。