２０１４年１月２５日（土） 指文字の文化 その５
色んな場で使われる指文字について、この所、当ブログに、下の４件の記事を投稿している。
指文字の文化 その１ （２０１３／１１／１４）
指文字の文化 その２ （２０１３／１１／１７）
指文字の文化 その３ （２０１３／１２／１０）
指文字の文化 その４ （２０１４／０１／１９）
最近の前稿では、手と指の拳遊びと、その代表であるジャンケンのルールについて取り上げた。本稿では、ジャンケンの実際として、２人でやる場合の確率的な側面について、述べる事としたい。
◎ジャンケンでの確率を求める
ジャンケンで、最も単純な、Ａ、Ｂの２人が勝負する場合の確率を考えてみたい。
◇１人が出す手は、グー（Ｇ）、チョキ（Ｃ）、パー（Ｐ）の３通りなので、２人では、 ３×３＝９通りの場合がある。
◇１回目で、２人が異なる手を出した場合は、勝負が決まる。Ａの１つの手に対して、Ｂの手は２通りあり、全体では、３×２＝６通りとなり、この確率は、
６／９＝２／３
２人が同じ手を出した場合は、アイコ（分りやすくするため、カタカナ表記に）になる。アイコになるのは、２人がともに、Ｇ、Ｃ、Ｐになる場合で、手が３通りあることから、１回目でアイコになる確率は、
１／３×１／３×３＝ １／３
である。
勝負が決まる確率は、全体から、アイコになる確率を引いても求められる。
１−１／３＝２／３
◇１回目がアイコの場合は、２回目の勝負になる。
２回目で勝負が決まる確率は、以下となる。
１／３×２／３＝２／３２
２回目もアイコになる確率は、
１／３×１／３＝１／３２
従って、２回目迄で決着する確率は、２回目もアイコになる確率を引いて
１−１／３２
となる。
◇１、２回目ともアイコの場合は、３回目の勝負になる。
３回目も、アイコになる確率は、
１／３２×１／３＝１／３３
従って、３回目迄で決着する確率は
１−１／３３
となる。
◇このように見て来ると、（ｎ−１）回目までアイコになり、ｎ回目の勝負になって、ｎ回目もアイコとなる確率は、
１／３ｎ−１×１／３＝１／３ｎ
従って、ｎ回目迄で決着する確率は、
１−１／３ｎ
となる。
◎決着するまでの平均回数を求める
◇ネットのWikipedia情報では、２人のジャンケンで決着するまでの平均回数は、答えだけ１．５回と出ていて、算出根拠は示されていない。（じゃんけん - Wikipedia）
そこで自分なりに考え、この場合の平均回数は、勝負の回数とそこで決着がつく確率との積（期待値）で、試行を限りなく（∞）繰り返した場合に得られるとすると、前述の値より、平均回数は、以下の無限級数の式となる。
１×２／３＋２×２／３２＋３×２／３３＋４×２／３４------------＋ｎ×２／３ｎ＋--------
＝Lim n→∞Σ1n（ｎ×２／３ｎ）
この無限級数は、ｎ→∞では、どうなるのだろうか？ １．５に収斂するだろうか。
◇この無限級数の各項は、分子側が一次関数の変数だが、分母側は指数関数の変数だから、分子に比べて、分母側が急速に大きくなっていくため、各項は、急速に小さくなっていくことから、感覚的には、収斂しそうに見える。
ｎ＝５位まで実際に計算して見ると、だんだん、１．５に近づいていくのが分る。
でも、正しく求める方法が分らず、今回は、ネットにある１．５を、そのまま引用することとし、今後、機会をみて調査・検討したい、としていた。
所が、つい先日、遠い昔の学生時代に買った、古びた微積分の本（「微分積分學精説」 岩切晴二著 培風館）を眺めていたら、全て正数からなる無限級数（正項級数という）の収斂、発散については、「ダランベールの判定法」という定理があるという記述を、たまたま見つけた。 これによれば、無限級数Σ＝ａｎで、判定式
Lim n→∞ ａｎ+１／ａｎ＝ｒ
で、ｒの値が
ｒ＜１ ならば 収斂
ｒ＞１ ならば 発散
と言えるという。
しかも、練習問題として、以下の級数
１／３＋２／３２＋３／３３＋---------------＋ｎ／３ｎ＋----------
の、収斂、発散を調べよ、とあるではないか！ この式は、正に、今回の２人のジャンケンの確率で出てきた式だ。しかも、練習問題の答が、ｒは１／３で収斂、とある。これで、勇気百倍である。
ダランベールの定理を、早速、上記の平均回数の無限級数に当て嵌めてみると、判定式は、
Lim n→∞ ａｎ+１／ａｎ＝Lim n→∞（（２（ｎ+１）／３ｎ+１））／（（２ｎ／３ｎ））
＝Lim n→∞２（ｎ+１）・３ｎ／２ｎ・３ｎ+１
＝Lim n→∞（１+１／ｎ）／３
＝１／３＜１
となり、練習問題と同様、ｒは１未満なので、収斂である。
◇ここからは、収斂値を、どうやって求めるか、の模索である。
ここで、昔習った２つの計算方法が思い浮かんだ。
・一つは、自然数１〜ｎ迄の和を求める場合等、順に、各項目が増えていく場合には、
元の数列と、順序を逆にした数列の両者を足して２で割る（幼いガウスが発見！）
という単純だが、素晴らしい方法である。
・もう一つは、無限等比級数の部分和や、極限値を求める場合、
元の級数と、比を掛けた級数との両者の差を求める
という方法だ。この方法で部分和の式を求め、それから、極限値を算出するものだ。
後者の場合、等比ｒが１未満の場合は、級数は、ｎ→∞で収斂する、と習ったものだ。
例えば、
Lim n→∞Σ０ｎｒｎ ＝１＋ｒ＋ｒ２＋ｒ３＋-----------＋ｒｎ＋-------------
では 、部分和Ｓｎは、
Ｓｎ＝１＋ｒ＋ｒ２＋ｒ３＋-----------＋ｒｎ
両辺に、ｒを掛けて、
ｒＳｎ＝ ｒ＋ｒ２＋ｒ３＋-----------＋ｒｎ＋ｒｎ＋１
両式の差を求めると
（１−ｒ）Ｓｎ＝１−ｒｎ＋１
∴ Ｓｎ＝（１−ｒｎ＋１）／（１−ｒ）
となり、これから、ｎ→∞で、ｒｎ＋１→０ となることから、極限値は、
Lim n→∞Ｓｎ＝１／（１−ｒ）となる。
ただ、これまでは、ダランベールの判定法という呼称は知らなかった。
ダランベールの判定法は、等比級数だけでなく、例えば、Lim n→∞∑（ｎ２／ｎ！）の様な級数でも、前後の項の比 ｒと、１との大小関係から、収斂、発散を判定できるようだ。
言うまでも無いが、収斂するか否かを判定する比 ｒの値と、収斂値は別である。
◇これらから類推し、ジャンケンの平均回数を算出する、等比級数の部分和の両辺に、等比１／３を掛けて、元の式との差分を取ってみた。すると、各項が１個づつ残る、綺麗な等比級数が得られたのである。この時は、何とも言えない、すっきりした嬉しさを味わった。
以下に、具体的に示す。
ｎ項迄の部分和をＳｎとすると、
Ｓｎ＝１×２／３＋２×２／３２＋３×２／３３＋-----------------＋ｎ×２／３ｎ
＝２／３（１＋２／３＋３／３２＋４／３３＋-----------------＋ｎ／３ｎ−１）
ここで、両辺に、３／２を掛けると、
３／２Ｓｎ ＝１＋２／３＋３／３２＋４／３３＋------＋ｎ／３ｎ−１＋（ｎ＋１）／３ｎ ?
?の両辺に、１／３を掛けると
１／２Ｓｎ＝ １／３＋２／３２＋３／３３＋---＋（ｎ−１）／３ｎ−１＋ｎ／３ｎ ?
?、?式の差をとると、以下のように、各項が１個づつ残ることとなる。
即ち、Ｓｎは、
Ｓｎ＝１＋１／３＋１／３２＋１／３３＋-----------＋１／３ｎ−１ ＋１／３ｎ ?
という、綺麗な等比級数となる。
?の両辺に、等比１／３を掛けて、二つの式の差とる、同様の方法でＳｎを求めると
Ｓｎ＝（１−１／３ｎ）／（１−１／３）
＝ ３／２（１−１／３ｎ）
従って、ｎ→∞では、比の値が１／３で、１以下であるため、１／３ｎ→０となり、
Lim n→∞Ｓｎ＝Lim n→∞３／２（１−１／３ｎ）＝３／２＝１．５
と、１．５に収斂する事が分る。
以上、興味に任せてかなり深みに嵌ってしまったが、何とか数値が求められたことで、自分なりには、すっきりした事ではある。
ジャンケンの話は、次稿以降も、暫く続きそうだ。