２０１４年１月３１日（金） ジャンケンの実際―４人のジャンケン
本稿は、
ジャンケンの実際―３人のジャンケン （２０１４／１／３０）
の続編で、４人のジャンケンについて述べたものである。
◎４人でジャンケンする場合の１回目の結果
４人でやる場合は、状況は、やや複雑になるが、頭の体操を兼ねて、以下に、整理を試みる。
◆４人（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）のジャンケンの組合せ総数 ３×３×３×３＝３４＝８１通り
◆勝負がつく場合からのアプローチ
４人の場合に、勝負がつく場合の数を求める。この場合、１〜３人まで、いずれかが勝つ場合を求めるのが、ミソだ。
以上より、４人のジャンケンの１回目で、１人、２人、又は３人が勝ちとなる、場合の数と確率は、全体の和となる。手の種類は共通なので、括り出すと、以下の様な、綺麗な形となる。
３×（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４ Ｃ３）／３４
＝（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４Ｃ３）／３３
＝（４＋６＋４）／２７＝１４／２７
従って、アイコになる確率は、以下となる。
１−１４／２７＝１３／２７
このやり方を延長すれば、ネットに出ている、ｎ人についての、一般化した式が得られそうだ。
◆アイコになる場合からのアプローチ
上記とは反対に、アイコになる場合から考察すると、３人でのジャンケンについては、、前稿のように、比較的容易に、一般化出来た。でも、人数を４人に拡大すると、このアプローチは、人数と手とアイコの数の関係がややこしく、かなり、複雑になるようだ。
でも、この方法で、４人の場合に、アイコになる場合の数を求めてみる。
◇４人が同じ手の場合は、同じ手アイコ（＊）となる。
人の選択 なし
手の種類 Ｇ、Ｃ、Ｐ、それぞれで１通りなので、全体で、３通り
同じ手アイコ＊は、４人の場合だけでなく、人数に無関係に、常に、３通りである。
◇３人が同じ手の場合は、アイコにはならず、別の手の１人との間で勝負がつき、３残／１残となる。
例：Ｇが、３人の場合、
もう１人がＣなら→ＧＧＧの３人が勝ち
もう１人がＰなら→ＧＧＧの３人が負けで、Ｐの１人が勝ち
ＧからＣ、Ｐに代わっても、同様である。
全体の場合の数と確率については省略。
◇２人が同じ手の場合は、
・残り２人が、別の同じ手の場合（例：ＧＧとＣＣ、ＧＧとＰＰなど）は、勝負がつく
・残り２人が別々の手（例：ＧＧとＣＰ、ＧＧとＰＣなど）は、勝負がつかず三すくみアイコ（＃）となる
というのも、厄介である。
◇上記にある、２人が同じ手（例Ｇ）で、三すくみアイコ（＃）になる場合について、先ず、全数リストアップしてみると、以下の左欄のようになる。
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｇ Ｇ Ｃ Ｐ Ｃ Ｃ Ｇ Ｐ
Ｇ Ｇ Ｐ Ｃ Ｃ Ｃ Ｐ Ｇ
Ｇ Ｃ Ｇ Ｐ Ｃ Ｇ Ｃ Ｐ
Ｇ Ｐ Ｇ Ｃ Ｃ Ｐ Ｃ Ｇ
Ｇ Ｃ Ｐ Ｇ Ｃ Ｇ Ｐ Ｃ
Ｇ Ｐ Ｃ Ｇ Ｃ Ｐ Ｇ Ｃ
Ｃ Ｇ Ｇ Ｐ Ｇ Ｃ Ｃ Ｐ
Ｐ Ｇ Ｇ Ｃ Ｐ Ｃ Ｃ Ｇ
Ｃ Ｇ Ｐ Ｇ Ｇ Ｃ Ｐ Ｃ
Ｐ Ｇ Ｃ Ｇ Ｐ Ｃ Ｇ Ｃ
Ｃ Ｐ Ｇ Ｇ Ｇ Ｐ Ｃ Ｃ
Ｐ Ｃ Ｇ Ｇ Ｐ Ｇ Ｃ Ｃ
で、１２通りとなる。
手の種類が、Ｇの他に、Ｃ、Ｐの場合もあるので、３通りがある。
念のため、このチェックとして、上の左表で、例えば、ＧとＣを入れ替えてみると、右欄となり、Ｃが２人の新たな組み合わせとなることが、確認できるので、Ｃ、Ｐの場合にも拡大出来ることが分る。
全体では、１２×３＝３６通り。
◇又、手が１人（例Ｇ）の場合は、他の手が２人の場合（例 上記のＣ、又はＰが２人）に包含される。
従って、アイコとなる場合の数は、
４人が同じ手の場合＊ ３
２人が同じ手の場合＃ ３６
となり、全体では、３９となるので、アイコとなる確率は、
３９／８１＝１３／２７
逆に、勝負が決まる確率は
１―１３／２７＝１４／２７
となる。
この値は、前述の、勝負がつく場合からのアプローチで得られた値と、同じである。
◆アイコとなる場合からのアプローチの一般化の考察
上記のようなリストアップ法ではなく、一般化した方法の考察を行ってみた。
◇組合わせの数 ４人（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）の手の組み合わせの数
各々 Ｇ、Ｃ、Ｐ ３×３×３×３＝３４＝８１通り
◇方法１：同じ手の数から求める方法の考察
・４人の手が同じ 同じ手アイコ＊ 手の数３は、３Ｃ１×１Ｃ１×１Ｃ１×１Ｃ１＝３
・３人（４−１人）の手が同じで、４人目は３人とは別→必ず勝敗が決まる
４人目も同じ→上の＊
・２人（４−２人）の手が同じで、アイコとなる場合は、残り２人（４−２人）の手が、それとは違って、しかも、別々の場合（ 例 ＧＧ と Ｃ、Ｐ）となる。
人の選択 ４から２を取る組み合わせ ４Ｃ２＝６
各々に対して、残る２人（４−２）について、１人を選ぶのに、２Ｃ１の２通りあるので、全体では ４Ｃ２×２Ｃ１＝６×２＝１２通り
手の数 Ｇの他、Ｃ、Ｐそれぞれについても、１２通りづつある
全体では １２×３＝３６通りとなる。
・１人の場合は、他が、２人、又は、３人の場合に含まれる。
従って、勝負が決まらず、アイコ（＊＋＃）となる場合の数と確率は
（３＋３６）／８１＝３９／８１＝１３／２７
従って、勝負が決まる確率は、この余事象で
１―１３／２７＝１４／２７
となる。（リストアップ法の数値と一致）
◇方法２：３人の場合のアイコから求める方法の考察
４人のアイコを調べる場合、まず、最初の３人で、三すくみの、＃アイコ状態を作る事を考える。
３人の場合の＊アイコ数は、
３Ｃ３×３＝３ → 手 ＧＧＧ ＣＣＣ ＰＰＰ
３人の場合の＃アイコは、６通り（３３＝２７通り中）（前稿）
３人で＃アイコになった組み合わせでは、４人目は、任意となるので、場合の数は、×３となる。
３人目まではアイコにならないが、４人目になってアイコになる場合がでてくる。
この場合は、３人の手が、下のように、３通り中の、２／１通りの手で、アイコ一歩手前えの状況になり、組合わせ数と手の数の積が、場合の数となる。
リストアップ検証では、左欄のＧの場合を、右欄のＣ、Ｐの場合に拡大している。
２人の場合 ３Ｃ２×手３＝９ リストアップで検証
ＧＧＣ ＣＣＰ ＰＰＧ
ＧＣＧ ＣＰＣ ＰＧＰ
ＣＧＧ ＣＣＰ ＧＰＰ
１人の場合 ３Ｃ１×手３＝９ リストアップで検証
ＧＣＣ ＣＰＰ ＰＧＧ
ＣＧＣ ＰＣＰ ＧＰＧ
ＣＣＧ ＰＰＣ ＧＧＰ
以上から、場合の数と確率は、以下。
３（３Ｃ２＋３Ｃ１）／８１＝３（３＋３）／８１＝１８／８１
これは、３人から、４人に増えて、新たに追加された、＃アイコの数である。 これに、
３人目までの＃アイコ数 ６／２７→×３で→１８／８１）
＊アイコ数 ３／８１
を加えると、アイコの総数と確率は、以下となる。
１８／８１＋１８／８１＋３／８１＝３９／８１＝１３／２７
この余事象で、勝負がつく確率は、以下となる。
１−１３／２７＝１４／２７